Model Thinking: Переломні моменти.

В лінійних моделях при незначному збільшенні незалежної змінної незначно змінюється і залежна, і навпаки - чим більше змінилась незалежна змінна, тим більше відхилення і в значеннях залежної змінної.

Поряд з тим, існують процеси, де маленька зміна дає значний ефект.  Дії чи події, які спричиняють цю зміну називають переломними моментами. Наприклад, вбивство у 1914 році ерцгерцога Франца Фердінанда призвело до розпаду чотирьох світових імперій (http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B0_%D1%81%D0%B2%D1%96%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0).



Розрізняють прямі та контекстуальні переломні моменти.
Прямий - конкретна дія чи подія призводить до значної зміни. Контекстуальний  - відбувається зміна середовища, і повторення тієї ж дії дає значний ефект.

Моделі перколяції (протікання).

Перколяція - метод очищення рідини, шляхом пропускання її через фільтр.  Чи витікатиме  рідина з іншого боку, залежить від пористості фільтра. Якщо відсоток отворів у матеріалі буде становити принаймі  59,2746% то вода гарантовано витікатиме.
Згідно цієї моделі можна пояснити такі явища:

Лісові пожежі.

Якщо дерева розташовані з густиною, меншою ніж 59%,  то пожежа локалізується на відносно невеликій ділянці.

Поекспериментувати з пожежами використовуючи Netlogo можна тут  http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/Fire

Банківська криза.

Поки банки відносно незалежні один від одного - крах одного має незначний вплив на інші. При глобалізації капіталу проблеми одного банку спричиняють кризу у всій системі, як можна було спостерігати у 2008 році.
Модель взаємодії між банками і країнами однакова. Чим більш пов'язані країни між собою, тим сильніше дефолт в одній з них вдарить по інших. Якщо проблеми будуть  у кількох з них -  викликає крах всієї системи.

Поширення інформації.

Тут працює дві речі:
наскільки добре розвинута соціальна мережа (особисте спілкування, соціальні мережі, блоги, та форуми), а також важливість інформації.
Чим більша важливіша інформація, яку ви поширюєте та чим більше ваша мережа, тим більше людей про це почує.

Доведення та інновації.

Часто в історії траплялись випадки коли люди абсолютно незалежно приходили до однакових висновків (наприклад Пулюй та Рентген). За цією моделлю таке цілком можливо. Оскільки в певній сфері нагромаджується певна кількість ідей  та доведень. І настає момент, коли прийти до нового відкриття чи довести якесь твердження стає значно простіше додавши до існуючих в суспільстві знань лише дрібку.

Інфекційні моделі

Розповсюдження хвороб

Нехай у певний момент часу t є кількість людей W, які хворіють певною хворобою. N - W - кількість людей, які нею не хворіють. N - кількість всіх людей. τ - коефіцієнт передачі, c - коефіцієнт контактування.
Ймовірність передати при зустрічі хворобу τ*(W(t)/N)*(N-W(t)/N)
Тоді в момент часу t+1 кількість хворих обчислюється формулою:

W(t+1) =W(t) + N*c *τ*(W(t)/N)*(N-W(t)/N)

Коли хворих мало, кількість буде близька до 1/N, коли багато - до N, сам графік зміни буде мати наступну форму:

Згини на графіку не є переломними моментами. Зростання в лівій частині графіку лише демонструє експоненціальний ріст.
Така модель показує не лише як поширюються захворювання, а й поширення технологій.
Наприклад графік користувачів Facebook:

Дана модель, показує модель поширення захворювання. Чума в середньовіччі поширювалась саме за таким шаблоном.
Більшість хвороб виліковні. Тому для них правильніше використовувати SIS модель, яка враховує тих хто вилікувався (і, зазвичай, має імунітет до цього захворювання)
a - відсоток тих, хто видужав.
Кількість хворих у наступний момент часу можна обчислити за формулою:

W(t+1) =W(t) + N*c *τ*(W(t)/N)*(N-W(t)/N) - a*W(t)

Як люблять казати в курсі вищої математики, використавши нескладні перетворення, формулу можна переписати так:

W(t+1) =с + W(t) *(c*τ*(N-W(t)/N) - a)

При невеликих значеннях W(t) (кількість хворих незначна) множник (N-W(t)/N) має значення близьке до 1, тому, якщо (c*τ - a) < 0, то кількість хворих буде зменшуватись, якщо ж (c*τ - a) > 0, то хворих ставатиме більше. Тобто, при c*τ > a, або ж c*τ/а > 1, поширення хвороби зупиниться.
Позначимо R = c*τ/а. Це називають епідеміологічним порогом. Він є пееломним моментом. При коли R > 1 захворювання починає стрімко поширюватись  (дивись графік розповсюдження).
Значення R при деяких хворобах: кір ~ 15, свинка ~ 5, грип ~ 3.
Зменшити розповсюдження хвороб допомагає вакцинація. Яку кількість населення потрібно вакцинувати, щоб запобігти розповсюдженню хвороби?
Нехай V - відсоток вакцинованих.
r = R(1-V)
Для запобігання розповсюдженню хвороби потрібно виконання умови R(1-V) <= 1, або ж V >= 1 - 1/R.
Тобто, щоб уникнути епідемії кору слід вакцинувати  14/15 (93,5 %) населення, свинки -  80%, грипу 66%.  Враховуючи, що вакцинація від кору та свинки в Україні є фактично примусовою, а від грипу добровільною бачимо, чому епідемія грипу виникає практично щороку.
Більше про епідемічні моделі http://en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model
Для визначення, який момент був поворотною точкою в системі можна використовувати міру різноманітності  або ентропію.
Проблема моделі переломних моментів - вона є ретроспективною, тобто дозволяє аналізувати події, які вже відбулись. Тут ми можемо сказати, що помах крил метелика спричинив технологічну катастрофу через 80 років. Але побачивши цей помах неможливо спрогнозувати, що відбудеться в майбутньому.

Наступна лекція: Зростання економіки (Economic Growth)

Попередня: Категоріальні та лінійні моделі